幂平均不等式是指对于任意正实数 \( a_1, a_2, \ldots, a_n \) 和 \( p > q \)，有以下不等式：\[\left( \frac{a_1^p + a_2^p + \cdots + a_n^p}{n} \right)^{\frac{1}{p}} \geq \left( \frac{a_1^q + a_2^q + \cdots + a_n^q}{n} \right)^{\frac{1}{q}}\]为证明该不等式，可以利用数学归纳法。首先，验证基础情况 \( n = 1 \) 成立。然后，假设对于 \( n = k \) 成立，即对于任意正实数的 \( k \) 个数，均满足不等式。接着考虑 \( n = k + 1 \) 的情况，利用均值的加权性质，从而将 \( k + 1 \) 个数的均值转化为 \( k \) 个数的均值进行比较，通过适当的变换和不等式组合，最终得出结论。
